如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$AC = BC = 2$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AP = BP = AB$，$PC \perp AC$.

(1) 求证：$PC \perp AB$； (2) 求二面角 $B - AP - C$ 的大小； (3) 求点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $AC=BC$，点 $C$ 在 $AB$ 的垂直平分面上；又因为 $AP=BP$，点 $P$ 也在 $AB$ 的垂直平分面上. 因而直线 $PC$ 在这个平面内，而该平面垂直于 $AB$，所以 $PC\perp AB$. \item 取 $C=(0,0,0)$，$A=(2,0,0)$，$B=(0,2,0)$. 由 $PC\perp AC$，可设 $P=(0,y,z)$. 由 $AP=BP$ 得 $4+y^2+z^2=(y-2)^2+z^2$，从而 $y=0$. 又 $AP=AB=2\sqrt2$，所以 $4+z^2=8$，即 $z^2=4$. 按图取 $P=(0,0,2)$.

平面 $CAP$ 的方程为 $y=0$，平面 $ABP$ 的方程为 $x+y+z=2$. 两平面的法向量可分别取 $\boldsymbol{n}_1=(0,1,0)$、$\boldsymbol{n}_2=(1,1,1)$，故二面角的锐角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac1{\sqrt3}$. 因此 $\sin\theta=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}$，二面角大小为 $\arcsin\frac{\sqrt6}{3}$. \item 由平面 $ABP:x+y+z=2$ 的点到平面距离公式，点 $C=(0,0,0)$ 到该平面的距离为 $\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}