已知函数 $f(x) = \sin^2 \omega x + \sqrt{3}\sin \omega x\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{2}\right)$（$\omega > 0$）的最小正周期为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $u=\omega x$. 因为 $\sin\left(u+\frac\pi2\right)=\cos u$，所以 $\displaystyle f(x)=\sin^2u+\sqrt3\sin u\cos u=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\sin2u-\frac12\cos2u=\frac12+\sin\left(2u-\frac\pi6\right)$. 因此 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac\pi\omega$. 由题设 $\frac\pi\omega=\pi$，且 $\omega>0$，故 $\omega=1$. \item 此时 $f(x)=\frac12+\sin\left(2x-\frac\pi6\right)$. 当 $0\leqslant x\leqslant\frac{2\pi}{3}$ 时，令 $t=2x-\frac\pi6$，则 $-\frac\pi6\leqslant t\leqslant\frac{7\pi}{6}$. 该区间包含 $t=\frac\pi2$，故函数最大值为 $\frac12+1=\frac32$. 区间两端的正弦值均为 $-\frac12$，而区间内不含正弦值为 $-1$ 的点 $-\frac\pi2+2k\pi$，故最小值为 $\frac12-\frac12=0$. 取值范围为 $\left[0,\frac32\right]$. \end{enumerate} \end{solution}