如图，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直，$PD = PC = 4$，$AB = 6$，$BC = 3$. 点 $E$ 是 $CD$ 边的中点，点 $F$，$G$ 分别在线段 $AB$，$BC$ 上，且 $AF = 2FB$，$CG = 2GB$.

(1) 证明：$PE \perp FG$； (2) 求二面角 $P - AD - C$ 的正切值； (3) 求直线 $PA$ 与直线 $FG$ 所成角的余弦值.