如图，正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$AB = a$.

(1) 求证：直线 $A_1D \perp B_1C_1$； (2) 求点 $D$ 到平面 $ACC_1$ 的距离； (3) 判断 $A_1B$ 与平面 $ADC_1$ 的位置关系，并证明你的结论.