如图，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$. 已知 $PB = PD = 2$，$PA = \sqrt{6}$.

(1) 证明： $PC \perp BD$； (2) 若 $E$ 为 $PA$ 的中点，求三棱锥 $P - BCE$ 的体积.