如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

(1) 求直方图中 $x$ 的值； (2) 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 $3$ 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 $3$ 至 $4\text{ 吨}$ 的居民数 $X$ 的分布列和数学期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由频率分布直方图中各组组距均为 $1$，各组频率之和为 $1$，得 所以 $x=0.12$. \item 居民月均用水量在 $3$ 至 $4\text{ 吨}$ 的概率为 $0.10$. 由于是有放回抽样，$3$ 位居民是否属于该类相互独立，所以 $X\sim B(3,0.10)$. 对 $k=0$，$1$，$2$，$3$，有 因此 $X$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} $X$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \ \hline $P$ & $0.729$ & $0.243$ & $0.027$ & $0.001$ \end{tabular} \end{center} 数学期望为 $E(X)=3\times0.10=0.3$. \end{enumerate} \end{solution}