如图所示，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$ 是棱 $DD_{1}$ 的中点.

(1) 求直线 $BE$ 和平面 $ABB_{1}A_{1}$ 所成的角的正弦值； (2) 在棱 $C_{1}D_{1}$ 上是否存在一点 $F$，使 $B_{1}F \parallel$ 平面 $A_{1}BE$？证明你的结论.

\begin{solution} 设正方体的棱长为 $a$，以 $B$ 为原点，以 $BC$，$BA$，$BB_{1}$ 所在直线分别为三个坐标轴，则 \begin{enumerate} \item 于是 $B=\left(0,0,0\right)$，$C=\left(a,0,0\right)$，$A=\left(0,a,0\right)$，$B_{1}=\left(0,0,a\right)$，$A_{1}=\left(0,a,a\right)$，$D=\left(a,a,0\right)$，$E=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$. 直线 $BE$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$. 平面 $ABB_{1}A_{1}$ 的法向为 $x$ 轴方向，因此直线 $BE$ 与该平面所成的角为 $\theta$ 时， \item 设 $F$ 的坐标为 $\left(a,t,a\right)$，其中 $0\leqslant t\leqslant a$. 有 $\overrightarrow{BA_{1}}=\left(0,a,a\right)$，$\overrightarrow{BE}=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$，$\overrightarrow{B_{1}F}=\left(a,t,0\right)$. 取平面 $A_{1}BE$ 的一个法向量 由于 $B$ 是平面 $A_{1}BE$ 上的点，且 $\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\boldsymbol{n}=-a^3\ne0$，所以直线 $B_{1}F$ 不在该平面内. 因而要使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$，必须且只需其方向向量满足 $\overrightarrow{B_{1}F}\cdot\boldsymbol{n}=0$，即 从而 $t=\frac{a}{2}$. 因此存在这样的点 $F$，且 $F$ 是棱 $C_{1}D_{1}$ 的中点. \end{enumerate} \end{solution}