已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin^2 x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最大值； (2) 求函数 $f(x)$ 的零点的集合.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\sin^2x=1-\cos2x$，得 $f(x)=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x-1=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1$. 因为 $-1\leqslant\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leqslant1$，所以 $f(x)\leqslant1$，且当 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 时取等号，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 因此 $f(x)$ 的最大值为 $1$. \item $f(x)=0$ 等价于 $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$. 所以 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ 或 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 解得 $x=k\pi$ 或 $x=k\pi+\frac{\pi}{3}$. 故零点集合为 $\left\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\right\}\cup\left\{k\pi+\frac{\pi}{3}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}$. \end{enumerate} \end{solution}