过双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的一个焦点作圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$. 若 $\angle AOB = 120^\circ$ （ $O$ 是坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为______.