如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，$AB \perp AD$，$CD = 2AB$，平面 $PAD \perp$ 底面 $ABCD$，$PA \perp AD$，$E$ 和 $F$ 分别是 $CD$ 和 $PC$ 的中点.

求证：

(1) $PA \perp$ 底面 $ABCD$； (2) $BE \parallel$ 平面 $PAD$； (3) 平面 $BEF \perp$ 平面 $PCD$.