已知函数 $f(x) = (2\cos^2 x - 1)\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 4x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期及最大值； (2) 若 $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，且 $f(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\alpha$ 的值.