如图，在三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧棱 $AA_{1}\perp$ 底面 $ABC$，$AB=AC=2AA_{1}=2$，$\angle BAC=120^{\circ}$，$D$，$D_{1}$ 分别是线段 $BC$，$B_{1}C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $AD$ 上异于端点的点.

(1) 在平面 $ABC$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1}BC$ 平行的直线 $l$，请说明理由，并证明直线 $l\perp$ 平面 $ADD_{1}A_{1}$； (2) 设（1）中的直线 $l$ 交 $AC$ 于点 $Q$. 求三棱锥 $A_{1}-QC_{1}D$ 的体积. （锥体体积公式：$V=\frac13Sh$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）