已知长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$，$N$ 分别是 $BB_{1}$ 和 $BC$ 的中点，$AB = 4$，$AD = 2$，$B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小为 $60^{\circ}$，求异面直线 $B_{1}D$ 与 $MN$ 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）