如图所示，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = AD = 1$，$AA_{1} = 2$，$M$ 是棱 $CC_{1}$ 的中点.

(1) 求异面直线 $A_{1}M$ 和 $C_{1}D_{1}$ 所成的角的正切值； (2) 证明：平面 $ABM \perp$ 平面 $A_{1}B_{1}M$.