设函数 $f(x) = x^3 - \frac{9}{2} x^2 + 6x - a$.

(1) 对于任意实数 $x$，$f'(x) \geqslant m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值； (2) 若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $f'(x)=3x^{2}-9x+6=3\left(x-\frac32\right)^{2}-\frac34$. 因此对任意实数 $x$，都有 $f'(x)\geqslant-\frac34$，且在 $x=\frac32$ 时取等号. 若 $f'(x)\geqslant m$ 恒成立，则 $m\leqslant-\frac34$，所以 $m$ 的最大值为 $-\frac34$.

\item $f'(x)=3(x-1)(x-2)$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 和 $(2,+\infty)$ 上递增，在 $(1,2)$ 上递减. 两个极值为 $f(1)=\frac52-a$，$f(2)=2-a$.

若 $a<2$，则 $f(2)>0$，局部极小值也为正，函数只在 $(-\infty,1)$ 上有一个零点. 若 $a>\frac52$，则 $f(1)<0$，局部极大值也为负，函数只在 $(2,+\infty)$ 上有一个零点.

当 $2<a<\frac52$ 时，$f(1)>0>f(2)$，三段单调区间各有一个零点；当 $a=2$ 或 $a=\frac52$ 时，极值点给出重根且另有一个零点，均不满足“有且仅有一个实根”. 因而 $a<2$ 或 $a>\frac52$. \end{enumerate} \end{solution}