如图，在四面体 $ABCD$ 中，截面 $PQMN$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）

\begin{solution} 截面为正方形，所以 $PQ\parallel MN$，$QM\parallel PN$，且 $PQ\perp QM$. 其中 $PQ$ 在平面 $ABC$ 内，$MN$ 在平面 $ACD$ 内，两平面的交线为 $AC$，故 $PQ\parallel AC$；同理 $QM\parallel BD$. 因而 $AC\perp BD$，命题 A 正确；$AC\parallel PQ$，所以 $AC$ 平行于截面 $PQMN$，命题 B 正确.

正方形条件只给出 $PQ=QM$，不能推出 $AC=BD$. 例如取 $A=(0,0,0)$，$B=(0,1,0)$，$C=(4,0,0)$，$D=(0,1,2)$，并取 $P=(0,\frac23,0)$，$Q=(\frac43,\frac23,0)$，$M=(\frac43,\frac23,\frac43)$，$N=(0,\frac23,\frac43)$. 则 $P$，$Q$，$M$，$N$ 分别在 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上，且 $PQMN$ 为边长 $\frac43$ 的正方形，而 $AC=4$，$BD=2$，故命题 C 错误.

又 $BD\parallel QM$，异面直线 $PM$ 与 $BD$ 所成的角等于 $PM$ 与 $QM$ 所成的角；正方形对角线与边成 $45^{\circ}$，故命题 D 正确. 所以错误命题为 C. \end{solution}