某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该几何体的体积为______.

如图，在四棱锥 $P$-$ABCD$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$AD\perp CD$，$AD\parallel BC$，$PA=AD=CD=2$，$BC=3$. $E$ 为 $PD$ 的中点，点 $F$ 在 $PC$ 上，且 $\dfrac{PF}{PC}=\dfrac13$.

(1) 求证：$CD\perp$ 平面 $PAD$； (2) 求二面角 $F$-$AE$-$P$ 的余弦值； (3) 设点 $G$ 在 $PB$ 上，且 $\dfrac{PG}{PB}=\dfrac23$. 判断直线 $AG$ 是否在平面 $AEF$ 内，说明理由.