已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin (\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$-\frac{\pi}{2} \leqslant \varphi < \frac{\pi}{2}$）的图象关于直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值； (2) 若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{2\pi}{3}$），求 $\cos \left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)$ 的值.