设函数 $f(x) = 3\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$（$\omega > 0$，$x \in (-\infty, +\infty)$），且以 $\frac{\pi}{2}$ 为最小正周期.

(1) 求 $f(0)$； (2) 求 $f(x)$ 的解析式； (3) 已知 $f\left(\frac{\alpha}{4} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{9}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值.