如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $a$，将该正方体沿对角面 $BB_1D_1D$ 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为______.

如图，正三棱锥 $S-ABC$ 中，底面边长是 $3$，棱锥的侧面积等于底面积的 $2$ 倍，$M$ 是 $BC$ 的中点. 求：

(1) $\dfrac{AM}{SM}$ 的值； (2) 二面角 $S-BC-A$ 的大小； (3) 正三棱锥 $S-ABC$ 的体积.