若 $x_0$ 是方程 $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^{\frac{1}{3}}$ 的解，则 $x_0$ 属于区间（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 左边 $\left(\frac12\right)^x$ 始终为正，所以方程的解必须满足 $x>0$. 对 $x>0$ 两边取自然对数，得 $x\ln\frac12=\frac13\ln x$，$\text{即 }x\cdot 8^x=1$. 函数 $g(x)=x8^x$ 在 $x>0$ 上严格递增，因为 $g'(x)=8^x(1+x\ln8)>0$，所以方程至多有一个正根.

又 $g\left(\frac13\right)=\frac13\cdot2=\frac23<1$，$g\left(\frac12\right)=\frac12\cdot\sqrt8=\sqrt2>1$. 由连续性，方程的根属于 $\left(\frac13,\frac12\right)$，故选 C. \end{solution}