如图所示正四棱台 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中 $AB=4$，$A_1B_1=2$.

(1) 当 $AA_1=2$ 时，求 $AA_1$ 和平面 $A_1B_1C_1D_1$ 所成角； (2) 证明：$AA_1\parallel$ 平面 $BC_1D$；若棱台高为 3，求三棱锥 $A_1-BC_1D$ 的体积.