设 $\triangle ABC$ 的两个内角 $A$，$B$ 所对的边分别为 $a$，$b$. 若复数 $z_1$ 的模为 $a$，幅角为 $B$；复数 $z_2$ 的模为 $b$，幅角为 $-A$. 求证：$z_1+z_2$ 为实数.

\begin{solution} 由复数的三角形式，$z_1=a\left(\cos B+\mathrm{i}\sin B\right)$，$z_2=b\left(\cos A-\mathrm{i}\sin A\right)$. 因此 $z_1+z_2=\left(a\cos B+b\cos A\right)+\mathrm{i}\left(a\sin B-b\sin A\right)$.

在三角形 $ABC$ 中，由正弦定理，存在同一个正数 $k$，使得 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$. 所以虚部中的系数为 $a\sin B-b\sin A=k\sin A\sin B-k\sin B\sin A=0$. 于是 $z_1+z_2=a\cos B+b\cos A$ 没有虚部，是实数. \end{solution}