(1) 求 $\left(2+x^2\right)^8$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数. (2) 从六个数字 $1$，$2$，$3$，$5$，$7$，$9$ 中任取四个不同的数字，有多少种取法？由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3) 在一列球中，第 $1$ 个球的半径为 $1$，第 $2$ 个球的直径是第 $1$ 个球的半径，以后每一个球的直径都是前一个球的半径，这样无限继续下去，求所有这些球的表面积的和.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 二项式展开的通项中，从 $8$ 个因子中选出 $k$ 个取 $x^2$，其余因子取 $2$，所得项为 $\mathrm C_8^k2^{8-k}x^{2k}$. 要得到 $x^{10}$，必须满足 $2k=10$，所以 $k=5$. 因此所求系数为 $\mathrm C_8^5 2^{8-5}=56\times8=448$. \item 任取四个不同数字时只需从六个数字中选出四个，取法数为 $\mathrm C_6^4=\dfrac{6\times5\times4\times3}{4\times3\times2\times1}=15$. 组成四位偶数时，个位必须是偶数；给出的六个数字中只有 $2$ 是偶数，所以个位固定为 $2$. 千位、百位、十位从其余五个数字中选出三个并按顺序排列，方法数为 $\mathrm A_5^3=5\times4\times3=60$. 因此两问的答案分别为 $15$ 种和 $60$ 个. \item 记第 $n$ 个球的半径为 $r_n$. 由题意 $r_1=1$，且对 $n\geqslant2$，第 $n$ 个球的直径为前一个球的半径，所以 $2r_n=r_{n-1}$，即 $r_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$. 第 $n$ 个球的表面积为 $S_n=4\pi r_n^2=4\pi\left(\dfrac14\right)^{n-1}$. 因此所有球的表面积构成首项为 $4\pi$、公比为 $\dfrac14$ 的无穷等比数列，且公比的绝对值小于 $1$，故其和为 $S=\dfrac{4\pi}{1-\frac14}=\dfrac{16\pi}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}