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07解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，曲线 ρ=cos⁡θ+1\rho=\cos\theta+1 与 ρcos⁡θ=1\rho\cos\theta=1 的公共点到极点的距离为______. \begin{answer} 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 极坐标中 ρcos⁡θ=1\rho\cos\theta=1，故 cos⁡θ=1ρ\cos\theta=\frac{1}{\rho}. 与 ρ=cos⁡θ+1\rho=\cos\theta+1 联立，得
ρ=1ρ+1,即ρ2−ρ−1=0\rho=\frac{1}{\rho}+1, \qquad\text{即}\qquad \rho^2-\rho-1=0
其根为 1+52\frac{1+\sqrt5}{2} 和 1−52\frac{1-\sqrt5}{2}. 后一个根的绝对值小于 11，不可能满足 ∣cos⁡θ∣=∣1ρ∣⩽1\left|\cos\theta\right|=\left|\frac{1}{\rho}\right|\leqslant1，故公共点到极点的距离为正根
ρ=1+52\rho=\frac{1+\sqrt5}{2}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
设 ABAB 是椭圆 Γ\Gamma 的长轴，点 CC 在 Γ\Gamma 上，且 ∠CBA=π4\angle CBA=\frac{\pi}{4}，若 AB=4AB=4，BC=2BC=\sqrt{2}，则 Γ\Gamma 的两个焦点之间的距离为______. \begin{answer} 463\frac{4\sqrt{6}}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设椭圆的长半轴为 aa，短半轴为 bb，焦半距为 cc. 由 AB=4AB=4，得 a=2a=2. 取 B=(2,0)B=(2,0)，使 BABA 沿负 xx 轴；由 BC=2BC=\sqrt2 且 ∠CBA=π4\angle CBA=\frac{\pi}{4}，可取
C=(1,1)C=(1,1)
（取 C=(1,−1)C=(1,-1) 时计算相同）. 因 CC 在椭圆上，
1222+12b2=1\frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2}{b^2}=1
所以 b2=43b^2=\frac{4}{3}. 于是
c2=a2−b2=4−43=83c^2=a^2-b^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}
两个焦点之间的距离为 2c2c，故
2c=283=4632c=2\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{4\sqrt6}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
设非零常数 dd 是等差数列 x1x_1，x2x_2，x3x_3，⋯\cdots，x19x_{19} 的公差，随机变量 ξ\xi 等可能地取值 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x19x_{19}，则方差 D(ξ)=D(\xi)=______. \begin{answer} 30d230d^2 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为 xi=x1+(i−1)dx_i=x_1+(i-1)d. 由于 ξ\xi 等可能取这 1919 个值，其平均数为
E(ξ)=x1+x192=x1+9dE(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
因此
D(ξ)=119∑i=119(xi−x1−9d)2=d219∑i=119(i−10)2D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
令 r=i−10r=i-10，则
∑i=119(i−10)2=2∑r=19r2=2⋅9⋅10⋅196=570\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
所以 D(ξ)=57019d2=30d2D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B=\{x\mid x\geqslant a-1\}. 若 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩽1a\leqslant1 时，
A=(−∞,a]∪[1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty)
而 B=[a−1,+∞)B=[a-1,+\infty). 因为 a−1<aa-1<a，三段合起来覆盖整个实数轴.
当 a>1a>1 时，
A=(−∞,1]∪[a,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty)
要使 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，必须使 BB 的左端点满足 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2；反之 1<a⩽21<a\leqslant2 时确实有 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}. 综上 a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty,2)
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
(2,+∞)(2,+\infty)
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2013 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=2n−1a_n=2^n-1，若一个 77 行 1212 列的矩阵的第 ii 行第 jj 列的元素 aij=ai⋅aj+ai+aja_{ij}=a_i\cdot a_j+a_i+a_j （i=1i=1，22，⋯\cdots，7; j=17;\ j=1，22，⋯\cdots，1212），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 an=2n−1a_n=2^n-1，有
aij=aiaj+ai+aj=(ai+1)(aj+1)−1=2i+j−1a_{ij}=a_i a_j+a_i+a_j=(a_i+1)(a_j+1)-1=2^{i+j}-1
其中 i=1i=1，…\ldots，77，j=1j=1，…\ldots，1212，所以 i+ji+j 可以取从 22 到 1919 的每一个整数，共有 19−2+1=1819-2+1=18 个不同值. 故选 A. \end{solution}
A.
18
B.
28
C.
48
D.
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2013 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA′=1AA'=1，证明直线 BC′BC' 平行于平面 D′ACD'AC，并求直线 BC′BC' 到平面 D′ACD'AC 的距离.

2013 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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