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10
概率与统计
★★★☆☆
设非零常数
d
d
d
是等差数列
x
1
x_1
x
1
，
x
2
x_2
x
2
，
x
3
x_3
x
3
，
⋯
\cdots
⋯
，
x
19
x_{19}
x
19
的公差，随机变量
ξ
\xi
ξ
等可能地取值
x
1
x_1
x
1
，
x
2
x_2
x
2
，
⋯
\cdots
⋯
，
x
19
x_{19}
x
19
，则方差
D
(
ξ
)
=
D(\xi)=
D
(
ξ
)
=
______. \begin{answer}
30
d
2
30d^2
30
d
2
\end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为
x
i
=
x
1
+
(
i
−
1
)
d
x_i=x_1+(i-1)d
x
i
=
x
1
+
(
i
−
1
)
d
. 由于
ξ
\xi
ξ
等可能取这
19
19
19
个值，其平均数为
E
(
ξ
)
=
x
1
+
x
19
2
=
x
1
+
9
d
E(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
E
(
ξ
)
=
2
x
1
+
x
19
=
x
1
+
9
d
因此
D
(
ξ
)
=
1
19
∑
i
=
1
19
(
x
i
−
x
1
−
9
d
)
2
=
d
2
19
∑
i
=
1
19
(
i
−
10
)
2
D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
D
(
ξ
)
=
19
1
i
=
1
∑
19
(
x
i
−
x
1
−
9
d
)
2
=
19
d
2
i
=
1
∑
19
(
i
−
10
)
2
令
r
=
i
−
10
r=i-10
r
=
i
−
10
，则
∑
i
=
1
19
(
i
−
10
)
2
=
2
∑
r
=
1
9
r
2
=
2
⋅
9
⋅
10
⋅
19
6
=
570
\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
i
=
1
∑
19
(
i
−
10
)
2
=
2
r
=
1
∑
9
r
2
=
2
⋅
6
9
⋅
10
⋅
19
=
570
所以
D
(
ξ
)
=
570
19
d
2
=
30
d
2
D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2
D
(
ξ
)
=
19
570
d
2
=
30
d
2
. \end{solution}
2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题
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