设常数 $a \in \mathbf{R}$，集合 $A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}$，$B=\{x\mid x\geqslant a-1\}$. 若 $A\cup B=\mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 当 $a\leqslant1$ 时， 而 $B=[a-1,+\infty)$. 因为 $a-1<a$，三段合起来覆盖整个实数轴.

当 $a>1$ 时， 要使 $A\cup B=\mathbf{R}$，必须使 $B$ 的左端点满足 $a-1\leqslant1$，即 $a\leqslant2$；反之 $1<a\leqslant2$ 时确实有 $A\cup B=\mathbf{R}$. 综上 $a\leqslant2$，故选 B. \end{solution}