(1) 求 $\left(2-x\right)^{10}$ 展开式里 $x^7$ 的系数. (2) 解方程 $2\lg x=\lg\left(x+12\right)$. （注：$\lg$ 是以 $10$ 为底的对数的符号.） (3) 求函数 $y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5}$ 的自变量 $x$ 的允许值的范围. (4) 求 $\sin\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12}$ 的值. (5) 一个水平放着的圆柱形排水管，内半径是 $12\text{ 厘米}$. 排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含有 $150^\circ$（如图）. 求这个截面上有水部分的面积. （取 $\pi=3.14$） (6) 已知 $\triangle ABC$ 的一边 $BC$ 在平面 $N$ 内，$\triangle ABC$ 所在的平面与平面 $N$ 组成二面角 $a$（$a<90^\circ$）. 从 $A$ 点作平面 $N$ 的垂线 $AA'$，$A'$ 是垂足. 设 $\triangle ABC$ 的面积是 $S$，求证 $\triangle A'BC$ 的面积是 $S\cos a$.

有一块圆环形的铁皮，它的内半径是 $45\text{ 厘米}$，外半径是 $75\text{ 厘米}$. 用它的五分之一（如图中的阴影部分），作圆台形水桶的侧面，这个水桶的容积是多少立方厘米？

在平地上有 $A$、$B$ 两点. $A$ 在山的正东. $B$ 在山的东南，且在 $A$ 的西 $65^\circ$ 南 $300\text{ 米}$ 的地方. 在 $A$ 测得山顶的仰角是 $30^\circ$，求山高. （$\sin70^\circ=0.940$，精确到 $10\text{ 米}$.）

设方程 $8x^2-\left(8\sin a\right)x+2+\cos2a=0$ 的两个根相等，求 $a$.