设函数 $f(x) = ax^3 + bx + c$（$a \neq 0$）为奇函数，其图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x - 6y - 7 = 0$ 垂直，导函数 $f'(x)$ 的最小值为 $-12$.

(1) 求 $a$，$b$，$c$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间，并求函数 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值.