如图，直角坐标系 $xOy$ 所在的平面为 $\alpha$，直角坐标系 $x'Oy'$（其中 $y'$ 轴与 $y$ 轴重合）所在的平面为 $\beta$，$\angle xOx'=45^\circ$.

(1) 已知平面 $\beta$ 内有一点 $P'\left(2\sqrt{2},2\right)$，则点 $P'$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $P$ 的坐标为______. (2) 已知平面 $\beta$ 内的曲线 $C'$ 的方程是 $\left(x'-\sqrt{2}\right)^2+2y'^2-2=0$，则曲线 $C'$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $C$ 的方程是______.