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06函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[−2,2]t \in [-2, 2]，则输出的 SS 属于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 当 t⩾0t\geqslant0 时，程序直接输出 S=t−3S=t-3，所以 S∈[−3,−1]S\in[-3,-1]. 当 −2⩽t<0-2\leqslant t<0 时，程序先把 tt 更新为 2t2+12t^2+1. 此时 2t2+1>02t^2+1>0，下一次判断直接进入输出分支，于是 S=2t2−2S=2t^2-2. 因为 t2∈(0,4]t^2\in(0,4]，所以 S∈(−2,6]S\in(-2,6].
合并两种情况得 S∈[−3,6]S\in[-3,6]，故选 D. \end{solution}
A.
[−6,−2][-6, -2]
B.
[−5,−1][-5, -1]
C.
[−4,5][-4, 5]
D.
[−3,6][-3, 6]

2014 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是棱长为 1212 的直三棱柱，三棱柱的直角三角形底面的两条直角边长分别为 66、88，斜边长为 1010. 这个三角形的内切圆半径为
r0=6+8−102=2r_0=\frac{6+8-10}{2}=2
任意内接球在垂直于棱柱侧棱的截面上都是内接于该直角三角形的圆，所以球半径不超过 22. 另一方面，将球心取在三角形内心且位于棱柱长度方向的中点，半径为 22 的球到两个端面的距离均为 66，能完整置于棱柱内. 因而最大半径为 22，故选 B. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2014 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−φ)f(x) = \sin\left(x - \varphi\right)，且 ∫02π3f(x) dx=0\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, \mathrm{d}x = 0，则函数 f(x)f(x) 的图象的一条对称轴是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由积分条件得
0=∫02π3sin⁡(x−φ) dx=cos⁡φ−cos⁡(2π3−φ)0=\int_0^{2\frac{\pi}{3}}\sin(x-\varphi)\,\mathrm{d}x =\cos\varphi-\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\varphi\right)
利用余弦差公式，sin⁡(φ−π3)=0\sin(\varphi-\frac{\pi}{3})=0，故 φ=π3+kπ\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 于是 f(x)=(−1)ksin⁡(x−π3)f(x)=(-1)^k\sin(x-\frac{\pi}{3}). 正弦函数的对称轴满足 x−π3=π2+nπx-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+n\pi，所以本题函数的一条对称轴为
x=5π6x=\frac{5\pi}{6}
故选 A. \end{solution}
A.
x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
B.
x=7π12x = \frac{7\pi}{12}
C.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
D.
x=π6x = \frac{\pi}{6}

2014 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
如图，已知 ABAB，BCBC 是 ⊙O\odot O 的两条弦，AO⊥BCAO \perp BC，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=22BC = 2\sqrt{2}，则 ⊙O\odot O 的半径等于______.
\begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 MM 为弦 BCBC 的中点. 因为圆心到弦的垂线平分弦，所以 AO⊥BCAO\perp BC 使得 AA，OO，MM 共线，且
BM=BC2=2BM=\frac{BC}{2}=\sqrt{2}
在直角三角形 ABMABM 中，
AM2=AB2−BM2=3−2=1AM^2=AB^2-BM^2=3-2=1
所以 AM=1AM=1. 设圆半径为 RR，OM=uOM=u. 在直角三角形 OMBOMB 中，R2=u2+2R^2=u^2+2，从而 R>uR>u. 若 OO 在 AA、MM 之间，则 R+u=1R+u=1；若三点不按此顺序排列，则 R−u=1R-u=1. 结合
R2−u2=2R^2-u^2=2
分别得到 R−u=2R-u=2 或 R+u=2R+u=2，两种情形均有 2R=32R=3. 因而 R=32R=\frac{3}{2}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 和正方形 DEFGDEFG 的边长分别为 aa，bb（a<ba < b），原点 OO 为 ADAD 的中点，抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 经过 CC，FF 两点，则 ba=\frac{b}{a} =______.
\begin{answer} 1+21+\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 建立如图所示的直角坐标系，令 ADAD 在 xx 轴上且正方形 ABCDABCD 位于其下方，则 A(−a2,0)A\left(-\frac a2,0\right)，D(a2,0)D\left(\frac a2,0\right)，C(a2,−a)C\left(\frac a2,-a\right)，F(a2+b,b)F\left(\frac a2+b,b\right). 把点 CC 代入抛物线方程，得 a2=2p⋅a2=paa^2=2p\cdot\frac a2=pa，所以 p=ap=a. 再把点 FF 代入，得
b2=2a(a2+b)=a2+2abb^2=2a\left(\frac a2+b\right)=a^2+2ab
令 r=bar=\frac{b}{a}，由 a>0a>0 得 r2=1+2rr^2=1+2r，即 r2−2r−1=0r^2-2r-1=0. 因为 b>ab>a，取正根，故 ba=1+2\frac ba=1+\sqrt2. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中， OO 为原点，A(−1,0)A(-1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(3,0)C(3,0)，动点 DD 满足 ∣CD→∣=1\left|\overrightarrow{CD}\right| = 1，则 ∣OA→+OB→+OD→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OD}\right| 的最大值是______. \begin{answer} 1+71+\sqrt{7} \end{answer}
\begin{solution} 由点的坐标得
OA→+OB→+OC→=(−1,0)+(0,3)+(3,0)=(2,3)\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(-1,0)+(0,\sqrt3)+(3,0)=(2,\sqrt3)
又因为 ∣CD→∣=1|\overrightarrow{CD}|=1，可写成 OD→=OC→+CD→\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}，故
OA→+OB→+OD→=(2,3)+CD→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=(2,\sqrt3)+\overrightarrow{CD}
由三角不等式，该向量的模不超过 22+(3)2+1=7+1\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}+1=\sqrt7+1. 当 CD→\overrightarrow{CD} 与 (2,3)(2,\sqrt3) 同方向时等号成立，所以最大值为 1+71+\sqrt7. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业有甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23\frac{2}{3} 和 35\frac{3}{5}，现安排甲组研发新产品 AA，乙组研发新产品 BB. 设甲，乙两组的研发相互独立.
(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率； (2) 若新产品 AA 研发成功，预计企业可获利 120 万元120\text{ 万元}；若新产品 BB 研发成功，预计企业可获利 100 万元100\text{ 万元}. 求该企业可获利的分布列和数学期望.
\begin{solution} 设事件 EE 为甲组研发成功，事件 FF 为乙组研发成功. 则 P(E)=23P(E)=\frac23，P(E‾)=13P(\overline E)=\frac13，P(F)=35P(F)=\frac35，P(F‾)=25P(\overline F)=\frac25. 由于两组研发相互独立，至少有一种新产品成功的对立事件是两种产品都失败，所以
P(E∪F)=1−P(E‾∩F‾)=1−13⋅25=1315P(E\cup F)=1-P(\overline E\cap\overline F)=1-\frac13\cdot\frac25=\frac{13}{15}
设企业利润为随机变量 XX，单位为万元. 两种产品的成败组合互斥且完备，故
P(X=0)=P(E‾∩F‾)=215P(X=0)=P(\overline E\cap\overline F)=\frac{2}{15}
P(X=100)=P(E‾∩F)=315P(X=100)=P(\overline E\cap F)=\frac{3}{15}，P(X=120)=P(E∩F‾)=415P(X=120)=P(E\cap\overline F)=\frac{4}{15}，P(X=220)=P(E∩F)=615P(X=220)=P(E\cap F)=\frac{6}{15}. 因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} XX & 00 & 100100 & 120120 & 220220\ \hline PP & 215\frac{2}{15} & 315\frac{3}{15} & 415\frac{4}{15} & 615\frac{6}{15} \end{tabular} \end{center} 数学期望为
E(X)=0⋅215+100⋅315+120⋅415+220⋅615=140E(X)=0\cdot\frac{2}{15}+100\cdot\frac{3}{15}+120\cdot\frac{4}{15}+220\cdot\frac{6}{15}=140
所以企业可获利的数学期望为 140 万元140\text{ 万元}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，CD=2CD = 2，AC=7AC = \sqrt{7}.
(1) 求 cos⁡∠CAD\cos \angle CAD 的值； (2) 若 cos⁡∠BAD=−714\cos\angle BAD = -\frac{\sqrt{7}}{14}，sin⁡∠CBA=216\sin\angle CBA = \frac{\sqrt{21}}{6}，求 BCBC 的长.
\begin{solution} 在三角形 ACDACD 中，由余弦定理得
CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos⁡∠CADCD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD
代入已知数据，得到
4=7+1−27cos⁡∠CAD4=7+1-2\sqrt7\cos\angle CAD
所以
cos⁡∠CAD=277\cos\angle CAD=\frac{2\sqrt7}{7}
设 α=∠BAD\alpha=\angle BAD，β=∠CAD\beta=\angle CAD. 由已知条件及角的范围， sin⁡α=1−(−714)2=32114\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)^2}=\frac{3\sqrt{21}}{14}，sin⁡β=1−(277)2=217\sin\beta=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{7}. 由图中射线 ACAC 位于 ∠BAD\angle BAD 内，∠BAC=α−β\angle BAC=\alpha-\beta，故
sin⁡∠BAC=sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=32114⋅277−(−714)⋅217=32\sin\angle BAC =\sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta =\frac{3\sqrt{21}}{14}\cdot\frac{2\sqrt7}{7} -\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)\cdot\frac{\sqrt{21}}{7} =\frac{\sqrt3}{2}
在三角形 ABCABC 中使用正弦定理，得
BCsin⁡∠BAC=ACsin⁡∠CBA\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle CBA}
从而
BC=7⋅32216=3BC=\frac{\sqrt7\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=3
\end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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