如图，已知 $AB$，$BC$ 是 $\odot O$ 的两条弦，$AO \perp BC$，$AB = \sqrt{3}$，$BC = 2\sqrt{2}$，则 $\odot O$ 的半径等于______.

\begin{answer} $\frac{3}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $M$ 为弦 $BC$ 的中点. 因为圆心到弦的垂线平分弦，所以 $AO\perp BC$ 使得 $A$，$O$，$M$ 共线，且 在直角三角形 $ABM$ 中， 所以 $AM=1$. 设圆半径为 $R$，$OM=u$. 在直角三角形 $OMB$ 中，$R^2=u^2+2$，从而 $R>u$. 若 $O$ 在 $A$、$M$ 之间，则 $R+u=1$；若三点不按此顺序排列，则 $R-u=1$. 结合 分别得到 $R-u=2$ 或 $R+u=2$，两种情形均有 $2R=3$. 因而 $R=\frac{3}{2}$. \end{solution}

如图，正方形 $ABCD$ 和正方形 $DEFG$ 的边长分别为 $a$，$b$（$a < b$），原点 $O$ 为 $AD$ 的中点，抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$） 经过 $C$，$F$ 两点，则 $\frac{b}{a} =$______.

\begin{answer} $1+\sqrt{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 建立如图所示的直角坐标系，令 $AD$ 在 $x$ 轴上且正方形 $ABCD$ 位于其下方，则 $A\left(-\frac a2,0\right)$，$D\left(\frac a2,0\right)$，$C\left(\frac a2,-a\right)$，$F\left(\frac a2+b,b\right)$. 把点 $C$ 代入抛物线方程，得 $a^2=2p\cdot\frac a2=pa$，所以 $p=a$. 再把点 $F$ 代入，得 令 $r=\frac{b}{a}$，由 $a>0$ 得 $r^2=1+2r$，即 $r^2-2r-1=0$. 因为 $b>a$，取正根，故 $\frac ba=1+\sqrt2$. \end{solution}