某企业有甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$，现安排甲组研发新产品 $A$，乙组研发新产品 $B$. 设甲，乙两组的研发相互独立.

(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率； (2) 若新产品 $A$ 研发成功，预计企业可获利 $120\text{ 万元}$；若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获利 $100\text{ 万元}$. 求该企业可获利的分布列和数学期望.

\begin{solution} 设事件 $E$ 为甲组研发成功，事件 $F$ 为乙组研发成功. 则 $P(E)=\frac23$，$P(\overline E)=\frac13$，$P(F)=\frac35$，$P(\overline F)=\frac25$. 由于两组研发相互独立，至少有一种新产品成功的对立事件是两种产品都失败，所以

设企业利润为随机变量 $X$，单位为万元. 两种产品的成败组合互斥且完备，故 $P(X=100)=P(\overline E\cap F)=\frac{3}{15}$，$P(X=120)=P(E\cap\overline F)=\frac{4}{15}$，$P(X=220)=P(E\cap F)=\frac{6}{15}$. 因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} $X$ & $0$ & $100$ & $120$ & $220$\ \hline $P$ & $\frac{2}{15}$ & $\frac{3}{15}$ & $\frac{4}{15}$ & $\frac{6}{15}$ \end{tabular} \end{center} 数学期望为 所以企业可获利的数学期望为 $140\text{ 万元}$. \end{solution}