已知函数 $f(x) = \sin\left(x - \varphi\right)$，且 $\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, \mathrm{d}x = 0$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由积分条件得 利用余弦差公式，$\sin(\varphi-\frac{\pi}{3})=0$，故 $\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 于是 $f(x)=(-1)^k\sin(x-\frac{\pi}{3})$. 正弦函数的对称轴满足 $x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+n\pi$，所以本题函数的一条对称轴为 故选 A. \end{solution}

如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$CD = 2$，$AC = \sqrt{7}$.

(1) 求 $\cos \angle CAD$ 的值； (2) 若 $\cos\angle BAD = -\frac{\sqrt{7}}{14}$，$\sin\angle CBA = \frac{\sqrt{21}}{6}$，求 $BC$ 的长.

\begin{solution} 在三角形 $ACD$ 中，由余弦定理得 代入已知数据，得到 所以

设 $\alpha=\angle BAD$，$\beta=\angle CAD$. 由已知条件及角的范围， $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)^2}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$，$\sin\beta=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{7}$. 由图中射线 $AC$ 位于 $\angle BAD$ 内，$\angle BAC=\alpha-\beta$，故 在三角形 $ABC$ 中使用正弦定理，得 从而 \end{solution}