如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 $A$，$B$，$C$ 三点进行测量，已知 $AB = 50 \mathrm{~m}$，$BC = 120 \mathrm{~m}$，于 $A$ 处测得水深 $AD = 80 \mathrm{~m}$，于 $B$ 处测得水深 $BE = 200 \mathrm{~m}$，于 $C$ 处测得水深 $CF = 110 \mathrm{~m}$，求 $\angle DEF$ 的余弦值.

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$\triangle PAB$ 是等边三角形，$\angle PAC = \angle PBC = 90^{\circ}$.

(1) 求证：$AB \perp PC$； (2) 若 $PC = 4$，且平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$，求三棱锥 $P - ABC$ 体积.