已知 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，$a_{1} = 1$，且点 $(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）在函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象上.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1}=1$，$b_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}$，求证：$b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}$.