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08
立体几何初步
★★★☆☆
如图，
∠
B
A
D
=
90
∘
\angle BAD = 90^{\circ}
∠
B
A
D
=
9
0
∘
的等腰直角三角形
A
B
D
ABD
A
B
D
与正三角形
C
B
D
CBD
C
B
D
所在平面互相垂直，
E
E
E
是
B
C
BC
B
C
的中点，则
A
E
AE
A
E
与平面
B
C
D
BCD
B
C
D
所成角的大小为______.
2000 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题
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21
立体几何初步
★★★☆☆
四棱锥
P
P
P
—
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
中，底面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
是一个平行四边形，
A
B
→
=
{
2
,
−
1
,
−
4
}
\overrightarrow{AB}=\{2,-1,-4\}
A
B
=
{
2
,
−
1
,
−
4
}
，
A
D
→
=
{
4
,
2
,
0
}
\overrightarrow{AD}=\{4,2,0\}
A
D
=
{
4
,
2
,
0
}
，
A
P
→
=
{
−
1
,
2
,
−
1
}
\overrightarrow{AP}=\{-1,2,-1\}
A
P
=
{
−
1
,
2
,
−
1
}
.
(1) 求证：
P
A
⊥
PA \perp
P
A
⊥
底面
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
； (2) 求四棱锥
P
P
P
—
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
的体积； (3) 对于向量
a
=
{
x
1
,
y
1
,
z
1
}
\boldsymbol{a}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\}
a
=
{
x
1
,
y
1
,
z
1
}
，
b
=
{
x
2
,
y
2
,
z
2
}
\boldsymbol{b}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}
b
=
{
x
2
,
y
2
,
z
2
}
，
c
=
{
x
3
,
y
3
,
z
3
}
\boldsymbol{c}=\{x_{3},y_{3},z_{3}\}
c
=
{
x
3
,
y
3
,
z
3
}
，定义一种运算：
(
a
×
b
)
⋅
c
=
x
1
y
2
z
3
+
x
2
y
3
z
1
+
x
3
y
1
z
2
−
x
1
y
3
z
2
−
x
2
y
1
z
3
−
x
3
y
2
z
1
\displaystyle (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = x_{1} y_{2} z_{3} + x_{2} y_{3} z_{1} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{3} z_{2} - x_{2} y_{1} z_{3} - x_{3} y_{2} z_{1}
(
a
×
b
)
⋅
c
=
x
1
y
2
z
3
+
x
2
y
3
z
1
+
x
3
y
1
z
2
−
x
1
y
3
z
2
−
x
2
y
1
z
3
−
x
3
y
2
z
1
. 试计算
(
A
B
→
×
A
D
→
)
⋅
A
P
→
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP}
(
A
B
×
A
D
)
⋅
A
P
的绝对值的值；说明其与四棱锥
P
P
P
—
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
体积的关系，并由此猜想向量这一运算
(
A
B
→
×
A
D
→
)
⋅
A
P
→
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP}
(
A
B
×
A
D
)
⋅
A
P
的绝对值的几何意义.
2000 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题
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