设 $AB$ 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 $C$ 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle CBA = \frac{\pi}{4}$，若 $AB = 4$，$BC = \sqrt{2}$，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为______.

\begin{answer} $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 取椭圆中心为原点，令长轴水平，设 $A=(-2,0)$、$B=(2,0)$. 由 $BC=\sqrt{2}$ 且 $\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，可取 $C=(1,1)$；取关于长轴对称的另一点时计算相同. 设椭圆方程为 将 $C=(1,1)$ 代入，得 $\frac14+\frac{1}{b^2}=1$，$b^2=\frac43$. 椭圆的焦半距满足 $c^2=4-b^2=\frac83$，所以两个焦点之间的距离为 \end{solution}

设常数 $a > 0$. 若 $9x + \frac{a^2}{x} \geqslant a + 1$ 对一切正实数 $x$ 成立，则 $a$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $a \geqslant \frac{1}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 因为 $a>0$、$x>0$，由基本不等式 当 $9x=\frac{a^2}{x}$，即 $x=\frac{a}{3}>0$ 时等号成立，所以左端的最小值为 $6a$. 题设不等式对一切正实数 $x$ 成立，当且仅当 $6a\geqslant a+1$，即 $a\geqslant\frac15$. \end{solution}

已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$. 记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_2$，$\boldsymbol{a}_3$；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{c}_1$，$\boldsymbol{c}_2$，$\boldsymbol{c}_3$. 若 $i$，$j$，$k$，$l \in \{1, 2, 3\}$ 且 $i \neq j$，$k \neq l$，则 $\left(\boldsymbol{a}_i + \boldsymbol{a}_j\right) \cdot \left(\boldsymbol{c}_k + \boldsymbol{c}_l\right)$ 的最小值是______.

\begin{answer} $-5$ \end{answer}

\begin{solution} 不妨按 $B$，$C$，$D$ 的顺序编号从 $A$ 引出的三个向量，按 $A$，$B$，$D$ 的顺序编号从 $C$ 引出的三个向量. 建立坐标系 $A=(0,0)$，$B=(1,0)$，$C=(1,1)$，$D=(0,1)$. 于是 $\boldsymbol{a}_1=(1,0)$，$\boldsymbol{a}_2=(1,1)$，$\boldsymbol{a}_3=(0,1)$ 以及 $\boldsymbol{c}_1=(-1,-1)$，$\boldsymbol{c}_2=(0,-1)$，$\boldsymbol{c}_3=(-1,0)$. 任取两个不同下标时，两个向量和分别可能为 当第一向量和依次取 $(2,1)$、$(1,1)$、$(1,2)$ 时，与上述三个第二向量和的数量积依次为 $(-4,-5,-3)$、$(-3,-3,-2)$、$(-5,-4,-3)$. 因而所有可能值的最小值为 $-5$. \end{solution}

设常数 $a \in \mathbf{R}$，集合 $A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}$，$B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}$. 若 $A \cup B = \mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为（$\quad$）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 若 $a\leqslant1$，则 由于 $a-1\leqslant a$，此时 $A\cup B=\mathbf{R}$.

若 $a>1$，则 要覆盖区间 $(1,a)$，必须且只需 $a-1\leqslant1$，即 $a\leqslant2$. 综合两种情形，$a\leqslant2$，故选 B. \end{solution}

甲厂以 $x\text{ 千克/小时}$ 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leqslant x \leqslant 10$），每一小时可获得的利润是 $100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}$.

(1) 求证：生产 $a\text{ 千克}$ 该产品所获得的利润为 $100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}$； (2) 要使生产 $900\text{ 千克}$ 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 $a\text{ 千克}$ 产品需要 $\frac{a}{x}$ 小时，所以所获得的利润为 \item 当生产 $900\text{ 千克}$ 产品时，利润函数为 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$，$1\leqslant x\leqslant10$. 其导数为 由于 $x>0$，当 $1\leqslant x<6$ 时 $P'(x)>0$，当 $6<x\leqslant10$ 时 $P'(x)<0$，所以 $P(x)$ 在 $[1,6]$ 上递增，在 $[6,10]$ 上递减，最大值在 $x=6$ 时取得. 最大利润为 因此甲厂应选择 $6\text{ 千克/小时}$ 的生产速度，最大利润为 $457500\text{ 元}$. \end{enumerate} \end{solution}