设 $AB$ 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 $C$ 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle CBA = \frac{\pi}{4}$，若 $AB = 4$，$BC = \sqrt{2}$，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为______.

\begin{answer} $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 取椭圆中心为原点，令长轴水平，设 $A=(-2,0)$、$B=(2,0)$. 由 $BC=\sqrt{2}$ 且 $\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，可取 $C=(1,1)$；取关于长轴对称的另一点时计算相同. 设椭圆方程为 将 $C=(1,1)$ 代入，得 $\frac14+\frac{1}{b^2}=1$，$b^2=\frac43$. 椭圆的焦半距满足 $c^2=4-b^2=\frac83$，所以两个焦点之间的距离为 \end{solution}