设常数 $a \in \mathbf{R}$，集合 $A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}$，$B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}$. 若 $A \cup B = \mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为（$\quad$）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 若 $a\leqslant1$，则 由于 $a-1\leqslant a$，此时 $A\cup B=\mathbf{R}$.

若 $a>1$，则 要覆盖区间 $(1,a)$，必须且只需 $a-1\leqslant1$，即 $a\leqslant2$. 综合两种情形，$a\leqslant2$，故选 B. \end{solution}