设函数 $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2 x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期. (2) 设函数 $g(x)$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$，有 $g\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = g(x)$，且当 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$g(x) = \frac{1}{2} - f(x)$. 求 $g(x)$ 在区间 $[- \pi, 0]$ 上的解析式.