已知 $f(x)=\log_a \frac{1+x}{1-x}$（$a>0$，$a\neq 1$）.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域； (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性并予以证明； (3) 求使 $f(x)>0$ 的 $x$ 取值范围.