如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，斜边 $BC = 2\sqrt{2}$，过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为 $A_1$；过点 $A_1$ 作 $AC$ 的垂线，垂足为 $A_2$；过点 $A_2$ 作 $A_1C$ 的垂线，垂足为 $A_3$；$\cdots$，依此类推，设 $BA = a_1$，$AA_1 = a_2$，$A_1A_2 = a_3$，$\cdots$，$A_5A_6 = a_7$，则 $a_7 =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{4}$ \end{answer}

数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$na_{n+1} = (n + 1)a_n + n(n + 1)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 证明：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列； (2) 设 $b_n = 3^n \cdot \sqrt{a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.