用 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 这五个数字，可以组成比 $20000$ 大，并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数，共有（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 五位数的首位不能为 $1$，且用这些数字组成的数首位为 $2$、$3$、$4$ 或 $5$ 时都大于 $20000$. 先不考虑百位限制，每确定首位后，其余四位有 $4!=24$ 种排法，共有 $4\times24=96$ 个.

现在排除百位为 $3$ 的情形. 首位为 $2$、$4$ 或 $5$ 时，数字 $3$ 仍在其余四位中，固定它在百位后，另外三位有 $3!=6$ 种排法，所以每种首位应排除 $6$ 个. 首位为 $3$ 时，数字 $3$ 已经用作首位，百位不可能为 $3$，因此保留全部 $24$ 个.

所求个数为 $\left(24-6\right)+24+\left(24-6\right)+\left(24-6\right)=78$.

所以应选 B. \end{solution}