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11
数列
★★★☆☆
设
S
1
=
1
2
S_1=1^2
S
1
=
1
2
，
S
2
=
1
2
+
2
2
+
1
2
S_2=1^2+2^2+1^2
S
2
=
1
2
+
2
2
+
1
2
，
S
3
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
2
2
+
1
2
S_3=1^2+2^2+3^2+2^2+1^2
S
3
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
2
2
+
1
2
，
⋯
\cdots
⋯
，
S
n
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
+
⋯
+
3
2
+
2
2
+
1
2
S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+\cdots+3^2+2^2+1^2
S
n
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
+
⋯
+
3
2
+
2
2
+
1
2
，
⋯
\cdots
⋯
. 用数学归纳法证明：公式
S
n
=
n
(
2
n
2
+
1
)
3
S_n=\frac{n(2n^2+1)}{3}
S
n
=
3
n
(
2
n
2
+
1
)
对所有的正整数
n
n
n
都成立.
1985 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 解答题
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17
数列
★★★☆☆
设首项为
1
1
1
，公比为
q
q
q
（
q
>
0
q>0
q
>
0
）的等比数列的前
n
n
n
项之和为
S
n
S_n
S
n
. 又设
T
n
=
S
n
S
n
+
1
T_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}
T
n
=
S
n
+
1
S
n
，
n
=
1
n=1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
. 求
lim
n
→
∞
T
n
\displaystyle\lim_{n\to\infty} T_n
n
→
∞
lim
T
n
.
1985 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 解答题
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