已知函数 $f(x) = x^2 + \frac{a}{x}$（$x \neq 0$，常数 $a \in \mathbf{R}$）.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数 $f(x)$ 在 $x \in [2, +\infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.