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08
数列
★★★☆☆
设等差数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的公差
d
d
d
不为
0
0
0
，
a
1
=
9
d
a_{1} = 9d
a
1
=
9
d
. 若
a
k
a_{k}
a
k
是
a
1
a_{1}
a
1
与
a
2
k
a_{2k}
a
2
k
的等比中项，则
k
=
k =
k
=
（ ）
A.
2
2
2
B.
4
4
4
C.
6
6
6
D.
8
8
8
2007 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题
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20
数列
★★★☆☆
在数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
2
a_{1} = 2
a
1
=
2
，
a
n
+
1
=
4
a
n
−
3
n
+
1
a_{n + 1} = 4a_{n} - 3n + 1
a
n
+
1
=
4
a
n
−
3
n
+
1
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
.
(1) 证明数列
{
a
n
−
n
}
\{a_{n}-n\}
{
a
n
−
n
}
是等比数列. (2) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_n
S
n
. (3) 证明不等式
S
n
+
1
⩽
4
S
n
S_{n+1} \leqslant 4S_n
S
n
+
1
⩽
4
S
n
对任意
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
皆成立.
2007 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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