某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 $3$ 个红球与 $4$ 个白球的袋中任意摸出 $3$ 个球，再从装有 $1$ 个蓝球与 $2$ 个白球的袋中任意摸出 $1$ 个球，根据摸出 $4$ 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1) 求一次摸球恰好摸到 $1$ 个红球的概率； (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E(X)$.

\begin{solution} 设第一次摸出的红球数为 $R$，第二次摸出的蓝球数为 $B$. 第一次从 $7$ 个球中摸出 $3$ 个球，因此 $P(R=r)=\frac{\mathrm C_{3}^{r}\mathrm C_{4}^{3-r}}{\mathrm C_{7}^{3}}$，$r=0$，$1$，$2$，$3$. 其中 $\mathrm C_{7}^{3}=35$.

\begin{enumerate} \item 恰好摸到 $1$ 个红球的概率为

\item 第二次摸到蓝球的概率为 $\frac{1}{3}$，摸到白球的概率为 $\frac{2}{3}$，且两次摸球相互独立. 由组合数计算， $P(R=0)=\frac{4}{35}$，$P(R=1)=\frac{18}{35}$，$P(R=2)=\frac{12}{35}$，$P(R=3)=\frac{1}{35}$. 三种获奖情形互不相交，所以 $P(X=50)=\frac{1}{35}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{105}$，$P(X=10)=\frac{12}{35}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{35}$. 其余情况均无奖，故 因此获奖金额 $X$ 的分布列为

\begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} $X$ & $0$ & $10$ & $50$ & $200$ \ \hline $P$ & $\dfrac{6}{7}$ & $\dfrac{4}{35}$ & $\dfrac{2}{105}$ & $\dfrac{1}{105}$ \end{tabular} \end{center}

于是 \end{enumerate} \end{solution}