设 $0 < \theta < 2\pi$，复数 $z = 1 - \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$，$u = a^2 + a\mathrm{i}$，且 $zu$ 是纯虚数. 这里，$\mathrm{i}$ 是虚数单位，$a$ 是实数.

(1) 求复数 $u$ 的辐角主值 $\arg u$（用 $\theta$ 的代数式表示）； (2) 记 $\omega = z^2 + u^2 + 2zu$，试问：$\omega$ 可能是正实数吗？为什么？