已知函数 $f(x) = a^x + \frac{x - 2}{x + 1}$（$a > 1$）.

(1) 证明：函数 $f(x)$ 在 $(-1, +\infty)$ 上为增函数； (2) 用反证法证明方程 $f(x)=0$ 没有负数根.